Materias 7mo Semestre: Entrada # 3

Laboratorio de Automatización y Control de Sistemas Dinámicos

Para esta semana, al igual que la anterior, consistió en elegir un problema y resolverlo.

El problema nos dice:

"Considere el que sistema que se muestra a continuación. Calcular la expresión del error en estado estacionario cuando están presentes tanto la señal de entrada de referencia R(s) como la entrada de perturbación D(s)."

Primeramente definir unos conceptos:

Entrada de Referencia.- Impulsos que se le dan al sistema para observar las salidas que tendrían el sistema.

Entrada de Perturbación.- Señales que tienden a afectar al sistema, afectan la salida del sistema; como esta señal es una entrada, por lo tanto esa es externa y se genera fuera del sistema.

Expresión de Error.- Es un valor que nos indica el rango que nos daria el sistema.

De nuestro problema tenemos los siguientes:

Entrada de Referencia R(s), Entrada de Perturbación D(s) y la Expresión de Error es E(s); C(s) seria la salida que produzca el sistema.

El problema nos pide encontrar la Expresión de Error en estado estacionario (No hay algo externo, aparte de lo mencionado, que pueda afectar la salida) cuando están presentes tanto la señal de entrada de referencia como la entrada de perturbación.

La Expresión de Error se calcula como la suma de salidas (La Esperada + la Producida en estado estacionario), en base a las variables y las definiciones tenemos:

La Esperada seria cuando solamente este presente la variable de referencia en el sistema (para este no incluiremos la de perturbación)

La Producida seria las salidas usando solamente la entrada de perturbación (ya que la referencia se vuelve constante y la de perturbación daría un resultado distinto).

Por lo tanto la ecuación de Error seria:

Y ya que como es estacionario tiene que ver con el tiempo nos queda que:

E(s) = E_e_e (t) = E_e_e_R (t) + E_e_e_D (t)

El siguiente paso seria solucionar cada uno de los errores, aquí comenzaremos por el de referencia.

Antes de encontrar cuando el de referencia sea estacionario primero habrá que determinarlo cuando no este así.

Este error se calcula como el valor de la referencia menos la salida producida por el efecto de este:

Teniendo que la salida de sistema es:

Tenemos que $\frac{C_R(s)}{R(s)} = \frac{G_1(s) G_2(s)}{1 + G_1(s) G_2(s)}$

Sustituyendo el error de la referencia en la ecuación.

$E_R(s) = R(s) - C_R(s) = R(s)[1 -\frac{C_R(s)}{R(s)}]$

$E_R(s) = R(s)[1 - \frac{G_1(s) G_2(s)}{1 + G_1(s) G_2(s)}]$

$E_R (s) = {[\frac{1}{1 + G_1(s) G_2(s)}R(s)]}$

Ya aplicandolo de forma estacionaria la de referencia

$E_e_e_R (t) = \displaystyle\lim_{t \to\infty}E_R(t) = \displaystyle\lim_{s \to\ 0} s E_R(s)$

$E_e_e_R (t) = \displaystyle\lim_{s \to\ 0} {s [\frac{1}{1 + G_1(s) G_2(s)}R(s)]}$

Ahora aplicando a las Perturbaciones

$E_D(s) = 0 - C_D(s) = - C_D(s) = - \frac{C_D(s)}{D(s)} D(s)$

Teniendo que: $\frac{C_D(s)}{D(s)} = \frac{G_2(s)}{1 + G_1(s) G_2(s)}$

$E_D(s) = - \frac{G_2(s)}{1 + G_1(s) G_2(s)} D(s)$

Sacando la forma estacionaria de las perturbaciones

$E_e_e_D (t) = \displaystyle\lim_{t \to\infty} E_D(t) = \displaystyle\lim_{s \to0} s E_D(s)$

$E_e_e_D (t) = \displaystyle\lim_{s \to0} [-\frac{G_2(s)}{1 + G_1(s) G_2(s)} D(s)] s$

Sustituyendo las estacionarias:

$E_e_e (t) = \displaystyle\lim_{s \to\ 0} {s [\frac{1}{1 + G_1(s) G_2(s)}R(s)]} + \displaystyle\lim_{s \to0} [-\frac{G_2(s)}{1 + G_1(s) G_2(s)} D(s)] s$

Referencias

http://www.slideshare.net/ptah_enki/definiciones-de-control-326816
http://isa.uniovi.es/docencia/raeuitig/tema1.pdf

Materias 7mo Semestre

Materias

jueves, 20 de septiembre de 2012

Entrada # 3

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